Konvergens på dårlige nett

Endelig element-metoden (finite element method, FEM) virker for tiden å være den mest populære numeriske teknikken for datasimuleringer i mange anvendelser i det virkelige liv, og derfor er mye forskning viet analyse av aspekter ved metodens pålitelighet.

Et av de grunnleggende kravene for enhver metode i numerikk er dens prinsipale konvergens, det vil si at tilnærminger produsert av den konvergerer til den (vanligvis) ukjente løsningen. I forbindelse med standard FEM-skjemaer og partielle differensialligninger av elliptisk type, er dette garantert (via Céas lemma) av passende estimater av feil ved interpolasjon.

Konstruksjon av ønskede estimater av feil ved interpolasjon i viktige normer henger sterkt sammen med de geometriske egenskapene til FEM-nett. Siden områder i reelle problemer vanligvis har komplisert eller spesiell struktur, er generering og tilpasning av nett over slike områder ikke-trivielle oppgaver, og kan resultere for eksempel i at tynne eller flate elementer av ulike typer dukker opp ved forfining.

Bidragene i denne avhandlingen angår hvor mye vi kan svekke standard geometriske betingelser for simplisielle og prismebaserte nett slik at feilen ved interpolasjon stadig har har optimal orden (og dermed at FEM har optimal konvergensrate). Dette vil tillate noen typer degenererende familier av elementer som utelukkes av standardbetingelser. Typisk vil det bety at forholdet mellom noen geometriske måltall tillates å være ubegrenset.

I større detalj presenterer vi en generalisering av betingelsen om maksimal vinkel for simplisielle elementer, og beviser dens ekvivalens (først i 3d, siden i høyere dimensjon) med andre kjente betingelser av samme type. Det at vi har flere ekvivalente formuleringer kan føre til forenkling av regularitetsanalyse for høyere-dimensjonale nett som er konstruert ved diverse populære teknikker for forfining. Vi presenterer så en analogi til betingelsen om maksimale vinkler først for rettvinklede triangulære prismer, og så for en mer generell klasse prismatiske elementer. I begge tilfeller beviser vi at feilen ved interpolasjon har orden O(h).

Personalia

Ali Khademi tok M.Sc.-grad i anvendt matematikk ved Iran University of Science and Technology, Teheran, Iran. Han er doktorgradsstudent ved Institutt for datateknologi, elektroteknologi og realfag ved Høgskulen på Vestlandet (HVL), Norway. Hans ph.d.-avhandling fokuserer på studiet av konvergens på degenererende prismatiske elementer under veiledning av professor Sergey Korotov og førsteamanuensis Jon Eivind Vatne. Hans forskningsinteresser inkluderer numerisk analyse, vitenskapelige beregninger, endelig element- og områdedekomponeringsmetoder.